石英挠性加速度计作为经典的惯导元件广泛应用于各种领域[1-4]，精度和长期稳定性是其最关键的2个性能指标。时间和外部环境应力诱导因素(如温度波动、热循环和动态机械载荷等)会导致加速度计零位的偏移和比例因子的改变，进而影响精度和长期稳定性 [5-6]。提高性能可以通过2种方式：1) 对各种因素造成的参数误差进行补偿，通过温度滞后补偿模型减少温度变化带来的误差[7]；2) 调整数字控制器和DA芯片的参考电压[8]，对系统的漂移进行在线校准。但是补偿的方法只能在较小程度上对性能进行改善，无法使其有跨越数量级的提高。要想进一步提高精度和长期稳定性，必须通过其他方式，就是改善制作工艺[6-10]。而在改善制作工艺时最重要的一步就是测量零位的变化，评估各种因素对性能的影响。
以往对石英挠性加速度计精度和长期稳定性的研究大多是针对整机层面的综合评估，没有关注到内部零件受到时间和环境应力诱导因素的影响。事实上，石英摆片作为石英挠性加速度计中的关键敏感元件，性能直接影响到整个加速度计的测量精度。然而贮存、温度、振动等因素会使挠性梁两侧金膜产生应力差，使得挠性梁变形，摆片零位发生变化，从而导致出现误差。为了应对这一问题，需要能够直接测量挠性梁两侧镀层应力差值，以便探究零位发生变化的具体原因，从而提高整体的性能和可靠性。
目前没有专门针对石英摆片挠性梁两侧应力差的测量装置和方案。传统的测量应力的方式多为接触式测量[9]，测量过程中会对其造成损坏，而且很难同时测量挠性梁两侧镀膜的应力差值。可以通过测量摆片的位置变化，得到挠性梁的变形，再通过理论计算和仿真模拟得到挠性梁两侧镀膜应力差值。摆片位置变化测量的难点在于2方面：一方面是摆片处于石英挠性加速计中时为闭环状态，会受到两轭铁力矩线圈反作用力的约束，偏转幅度受到限制。而单独进行测量时，摆片处于开环状态，未受到反作用力约束，摆动幅度较大，可能会发生损坏；另一方面，摆片偏离零位的位置变化量是微纳米级的，需要测量系统对位移具有极高的分辨率和测量精度。
本文基于电容法设计了非接触式高精度测量石英摆片挠性梁两侧应力差的方案。通过建模仿真了电容法测量中各变量之间的联系，建立了镀膜两侧应力差值到电容值变化的关系。搭建了基于AD7747的飞法级多通道测量装置，实现了对石英摆片挠性两侧应力差值的高精度测量。
1 测量方法与原理
为了测量石英摆片两侧的应力差，最简便的方法是直接测量石英摆片的微小位移，并通过位移变化计算应力差。微小位移量的测量方法通常有应变计测量法[11]、激光干涉法[12]、激光位移传感器法[13]、电容法[14]等。使用应变计可以对摆片进行低成本的长期测量，但是需要和石英摆片进行接触，可能会破坏石英摆片的力学性能，不适合用于微小变形的测量。激光干涉法和激光位移传感器法都属于非接触式测量，适合动态地测量石英摆片的形变，并且2种方法都有极高的测量精度和采样率。但是激光干涉法设备复杂，环境光和振动会对测量造成影响；而激光位移传感器法对表面特性和反射率有极高的要求。因此，这2种方法都不适用于直接测量石英摆片。相比上述方法，电容法是一种低成本设备简单的非接触式测量方法，具有较高的灵敏度和分辨率，可以高精度地检测石英摆片的微小变形，且对环境变化较不敏感，有助于保持测量的稳定性, 因此本文选择使用电容法对石英摆片的微小变形进行测量。
1.1 测量原理
石英摆片镀膜两侧应力差会引起挠性梁变形，挠性梁变形会带动摆片位置发生变化，相对于原位摆动一定角度。将石英摆片作为信号端，金属极板作为接地端形成电容，根据电容变化就可以得知摆片位置变化，进而得知挠性梁变形大小和镀膜两侧应力差值。测量系统组成和测量原理如图 1所示。
电容法测量位移的原理基于电容器的电容随电极间距离变化而变化的特性。测量系统中通常包括一个由2个平行电极板构成的电容器，其电容C计算如下：
其中：ε是介电常数，A是电极的正对有效面积，d是两电容极板之间的距离。当d发生变化时，C也会相应地变化。通过精确测量电容的变化量，可以推算出电极板之间的位移。由于电容变化非常微小，因此需要高精度的电容测量电路或仪器来检测这些微小变化，并将其转换为电信号进行处理和显示。
挠性梁的变形通过摆片的最大变形量w描述，测量C可得到摆片的等效位置变化，根据几何关系得到w，然后由w理论计算得到镀膜两侧应力差Δσf。
1.2 石英挠性梁变形分析
对表 1中尺寸的摆片进行理论计算，建立w与Δσf之间的关系。
表 1 石英摆片尺寸 |
| 部件 | 长度/mm | 宽度/mm | 厚度/μm |
| 镀层 | 3.5 | 1.65 | 0.2 |
| 挠性梁 | 3.5 | 3.93 | 30 |
其中Af为薄膜的横截面积，Af=tf Wf。
挠性梁发生的变形弯曲可以等效为如图 2d所示。初始状态下在变形方向上薄膜长度与基底长度相等，发生变形后薄膜被拉长，图中蓝色线为基底中性面，R为石英挠性梁变形后的曲率半径。由几何关系可得
由于ΔL很小，Ls近似与L相等。在基底表层即镀层薄膜位置的最大轴向应变εm为
将式(4)代入式(3)有
挠性梁外表面上应变最大，在中性面上无应变。由于变形协调，当平面距离零平面t时，该平面的弹性应变ε(t) 为
t的取值范围是-ts/2~ts/2。挠性梁基底中距离零平面为t的平面上的应力[15] σs (t) 为
其中E′s为石英基底的二维弹性模量，可通过石英基底的一维弹性模量Es和Poisson比νs计算
基底中的应力σs相对中性面的力矩Ms为
Mf与Ms方向相反，由2个力矩平衡可得：
代入式(2)与式(9)获得R为
镀层1、基底、镀层2的三层结构的力矩平衡方程为
其中Mf1、Mf2为镀层薄膜应力对基底产生的力矩，Mf1、Mf2两者方向规定与Ms同向时取正值，反向时取负值。
Δσf与R的关系为
采用偏转角度及相对位移2种标准衡量梁的变形，悬臂梁自由端与固定端的连线相对初始位置转过角度θ (单位为rad)为
悬臂梁自由端相对初始位置的最大变形量w为
仿真应力差时更接近实际情况，薄膜应力是沿薄膜的长度、宽度方向上呈现一定梯度的不均匀分布。而理论计算时更理想化，用薄膜表面应力表示薄膜应力，进而用两侧薄膜中的最大等效应力的差值代表两侧薄膜应力的差值时会有一定误差，比仿真得到的两侧薄膜应力差值更大。因此在利用仿真结果计算w与Δσf的关系时，可以引入比例系数k修正式(15)。将k和具体参数值Wf=1.65 mm、νs=0.17、tf=2 μm、ts=30 μm、L=3.5 mm、Ws=3.93 mm和Es=72 GPa代入式(15)中得
由此可知，每MPa的Δσf将引起石英摆片0.791 kμm的变形量。考虑到摆片实际工作情况，悬臂梁的可动端还受到悬挂质量块的重力矩MG作用，式(12)变为
悬挂质量块的质心到挠性梁与质量块接触端的距离为LG，由几何关系知重力矩为
可获得实际摆片挠性梁发生变形时的R为
实际摆片挠性梁发生变形时的w出现在悬挂质量块的距离固定端的最远端，设Lm为悬挂质量块最远端与悬臂梁固定端的距离，则有
2 摆片仿真分析
在搭建测量装置前，先进行仿真分析，对后续搭建测量装置进行指导。首先对测量对象石英摆片进行模态分析，确定其主要模态和固有频率，指导后续设计石英摆片的夹持方式；再通过仿真获得式(16)中的k值；最后仿真分析电容法测量时石英摆片变形引起的电容变化的规律，指导搭建电容法测量装置。
2.1 模态仿真
对石英摆片进行模态仿真分析，可以获得石英摆片的固有频率和振型，有助于预测和分析石英摆片在实际测量条件下的行为，预防发生石英摆片共振而对测量结果造成影响或发生损坏。按照摆片的真实尺寸建立三维模型，摆片主要特征尺寸为：外直径22.3 mm，摆片厚度0.75 mm，挠性梁厚度30 μm，镀层厚度200 nm。
为使网格划分顺利进行，简化模型和计算量，调整模型导入后的细节尺寸。将镀层厚度0.2 μm经过十倍放大为2 μm，与摆片厚度750 μm相近。调整后节点数量由8 354 228降低至371 107，网格数量由4 586 406降低至219 760，降低了计算时间。通过模态分析，按照从小到大频率，提取了无镀层结构摆片和有镀层结构摆片的主要特征频率，其模态特征频率如表 2所列。
表 2 有镀层与无镀层摆片特征频率 |
| 模态阶次 | 1 | 2 | 3 |
| 无镀层摆片特征频率/Hz | 22.64 | 179.9 | 579.8 |
| 有镀层摆片特征频率/MHz | 58.90 | 437.2 | 1 470 |
3个振动模态如图 3所示。其中1阶模态作为摆片的工作振型为正常摆动，摆片的摆动方向为敏感方向，即输入轴方向；2阶模态为扭摆状态；3阶模态为波动，调节摆动质量的大小可削弱此模态。
对比无镀层和有镀层的1阶模态即工作振型，发现无镀层时摆片的最大变形量更大，模态频率更低，所以镀层会减小挠性梁的挠性。从仿真结果看，摆片各阶模态固有频率都较大，对摆片进行正常测量不会引起摆片共振。
2.2 挠性梁变形仿真
在ANSYS中对石英摆片上两侧的镀膜应力差引起的挠性梁变形进行仿真，获得式(15)中k的大小。在挠性梁两侧镀层处设置不同温度载荷，使石英摆片两侧镀层产生不同大小的内应力, 计算得到两侧镀层间应力差值与挠性梁的变形的关系。
镀层的尺寸参数按照实际大小设置，厚度为200 nm。固定约束镀层薄膜横向端面，并令一侧金膜的温度比初始温度增加3 ℃，发现镀层平面内X、Y轴向应力均为4.934 MPa，且分布均匀。当设置镀层温度比初始温度增加6 ℃时，镀层平面内X、Y轴向应力均为9.869 MPa，且分布均匀。应力与温度差值等比例增长，可知应力与温度呈线性关系，符合平面热应力变化规律。控制两侧镀层的温度即可控制两侧镀层的应力状态。
改变薄膜的厚度，对薄膜平面内分布的应力大小及方向没有影响。为便于仿真计算，建模时将镀层厚度放大为2 μm，忽略薄膜对于镀层梁整体结构的刚度影响。挠性梁其余尺寸按真实尺寸设置，如表 3所示。
表 3 双侧镀层与挠性梁模型尺寸 |
| 部件 | 长度/mm | 宽度/mm | 厚度/μm |
| 镀层 | 3.5 | 1.65 | 2 |
| 挠性梁 | 3.5 | 3.93 | 30 |
对挠性梁实际固定的端面进行固定约束，模拟挠性梁与石英摆片外环部位连接部位，使挠性梁模型形成悬臂梁。在挠性梁两侧镀层上设置不同的温度载荷，使两侧镀层产生不同大小的内应力，从而引起石英基底的不同程度的弯曲。
在两侧镀层上施加不同的温度差ΔT，获得不同的Δσf并记录对应的w仿真结果，如表 4所示。
表 4 Δσf与w的关系 |
| ΔT/℃ | 3 | 6 | 9 | 12 |
| Δσf/MPa | 5.41 | 10.83 | 16.24 | 21.67 |
| w仿真结果/μm | 2.039 | 4.079 | 6.118 | 8.158 |
在Δσf小于20 MPa范围内，Δσf与w仿真结果符合式(15)推导得到的线性变化规律。根据Δσf=5.41 MPa时w=2.039 μm的仿真结果，得知两侧镀膜每增加1 MPa的应力差将引起挠性梁的最大变形量增加0.38 μm。对照式(16)可以得到k=0.476。在小变形条件即w小于8 μm的情况下，可以直接采用式(16)获得不同Δσf对应的w，不需要修改仿真参数后重新进行仿真，提升了效率。
2.3 变形量对电容影响仿真
利用COMSOL软件对摆片与金属极板之间形成的待测电容进行了仿真，分析了摆片位置变化对电容值变化的影响。
表 5 极板间电容随间距小范围变化情况 |
| d/μm | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 80 | 100 |
| C/pF | 50.6 | 34.4 | 26.3 | 21.3 | 11.4 | 13.8 | 11.4 |
表 6 极板间电容随间距大范围变化情况 |
| d/μm | 120 | 140 | 160 | 180 | 200 | 500 | 1 000 |
| C/pF | 9.7 | 8.5 | 8.1 | 6.9 | 6.3 | 3.2 | 2.1 |
将C局部变化近似当作线性变化来计算电容变化率
其中ΔC为电容变化值，Δd为极板间距变化值。
当d在80~100 μm变化时，电容变化率为0.123 pF/μm；当d在20~30 μm变化时，电容变化率为1.619 pF/μm。故d越小，电容变化率越大，具有相同大小的电容分辨能力时，d较小时，系统的位移测量分辨率Δx较小，更加灵敏。
当极板间距为50 μm时，令摆片电极平面在相对于与圆形极板平行的初始状态下，旋转到与圆形极板平面呈γ夹角的状态。γ为正值时表示摆片电极远离固定极板，为负值时表示摆片电极接近固定极板。对电容进行仿真结果如图 4所示。
γ范围较大时电容和偏角的关系呈现负相关关系，按线性关系进行拟合，发现随γ变化范围减小，C随γ变化的线性程度逐渐提高，决定系数从0.532 3提高至0.997 5，当γ变化范围在±0.01°内，C和γ线性相关程度较好。拟合结果如图 4所示。在实际工作状态下，摆片发生的变形极小，可认为摆片变形偏转时引起的电容变化是线性的。
3 石英摆片原位测量装置
石英摆片原位测量装置由电容测量芯片、石英摆片夹具、可移动测量机构等组成，如图 5所示。
3.1 电容测量芯片
通过2.1节对于摆片力学性能的分析，估计摆片零位偏移平面发生的变形在亚微米量级，通过2.3节对待测电容受极板间距或偏转角度的影响分析，测量系统灵敏度至少需达到pF/μm级。位移转化为电容需要精密的电容测量手段，预期测量系统量程为0 ~ 30 pF。由于本文研究摆片无输入加速度时的变形，主要针对摆片的静态性能进行测量，可以降低一定采样速率以提高测量准确性。
目前，电容的模拟-数字转换技术较成熟，可利用电容模数转换器芯片对待测电容信号进行采集。可选芯片包括ADI公司的AD774X系列芯片、ACAM公司的Pcap01电容测量芯片、AMG公司的CAV414/CAV424型芯片及Irvine Sensor公司的微小电容/电压转换检测芯片MS3110等。
综合比较了各种测量方案，最终选择利用充放电原理测量的电容模数转换器芯片AD7747，其优点是精度高、灵敏度高、电路简单、线性度好。其内部具有高精度AD转换器，包括调制解调器和滤波器，同时集成了CAPDAC等功能寄存器，可采用单端或差分式电容输入对电容进行检测。
3.2 石英摆片夹具
采用石英材料制作摆片的夹具，如图 5b所示。石英材料热膨胀系数极低(5.5×10-7 K-1)，耐高温和腐蚀，化学性质稳定，绝缘性好，基本不受环境条件变化的影响，可防止夹具受环境条件影响对测量结果造成干扰。石英环状夹具中心为台阶孔，摆片与台阶接触并受弹性垫圈压紧。受到加工精度和材料强度限制，台阶高度约0.1 mm。由于摆片处于开环状态，其振动幅度远大于闭环系统，故中心采用通孔结构，主要为防止振动时摆片与夹具碰撞而损坏摆片。
3.3 可移动测量机构
采用具有调整位置能力的单轴和转动位移平台组合成摆片的位置调整机构。单轴位移平台通过旋转微动螺杆，螺杆上螺纹相对固定的外螺纹滑动，带动平台沿直线导轨平移，进行位置调整，位移平台可通过内置弹簧张紧提供的弹力恢复其原始位置，最小分度对应的位移为10 μm。转动位移平台可通过先大角度转动粗调，再微调微动螺杆细调至目标角度的方式实现控制摆片转动的功能。
石英夹具通过螺钉与转动平台连接，石英摆片另一侧的极板可直接安装至L形连接架上。摆片的对侧极板主体为矩形截面的金属铝板，中央部位通过铣床加工了具有一定高度和直径大小的圆柱状突起，圆柱的表面与石英夹具中心通孔相对，直径相匹配，在测量装置需要较高的灵敏度时，则可调整平动平台改变极板间距，使对侧极板的圆柱状突起能够进入石英夹具中心通孔一定距离，尽可能使对侧的金属极板贴近摆片镀层电极。
3.4 测量与标定
对摆片的几何尺寸与物理参数进行测量，通过有限元仿真获得摆片与对侧电极保持d=10~100 μm时，C可以保持在电容测量量程内。且摆片位置的偏移使被测电容产生的变化量ΔC与其对位移的灵敏度均符合测量条件。
安装好位移平台，调整微动螺杆实现极板的位置变化，记录极板处于不同位置时对应的电容值，并按线性关系进行拟合。初始电容测量量程为-8~8 pF，将电容偏置设为17 pF后，可测量9 ~ 25 pF的电容，增加了可测量的最大电容范围。
极板间距每变化5 μm记录一次电容数据，每次采样100个电容数据点，采样频率为4.6 Hz，然后记录电容的平均值和标准差。重复上述标定过程6次。图 6为极板间距分别在15~100 μm和60~100 μm变化时测得电容均值的6组结果。
极板间距在15~100 μm变化时，电容均值2和5与另外4组电容均值1、3、4、6拟合后结果相差较大，可能与位移平台中各个部件位置变化有一定迟滞相关：如平台内置的牵引弹簧受力作用后发生变形的过程需要经过一定的时间实现平衡稳定状态；在微动螺杆中的螺纹之间存在一定的间隙，转动调整过程中可能产生空程差；内部导轨接触部位中储存的润滑油体积发生变化等都可能导致位移精度的降低；受到最小分辨率的限制，需要对位移进行估读，对于手动调整带来的位移误差。此外，还有电容测量过程中的误差。在极板间距较近时，由于位置移动导致的误差会受电容-位移灵敏度提高的影响进一步被放大。极板间距在60~100 μm变化时，电容均值2和5与另外4组均值接近，线性相关度比极板间距在15~100 μm变化时提高很多。
对极板间距在15~100 μm变化时线性相关度较好的电容平均值1、3、4、5、6的拟合结果进行分析，拟合结果中的斜率即为电容随极板间距的变化率，如表 7所示，变化率的均值为-0.142 4 pF/μm。测量电容结果的最大标准差为0.003 pF，一般结果标准差在0.001 pF左右，则极板间距在15~100 μm发置变化时，等效最小位移分辨能力至少达到0.003/0.142 4=0.021 μm。
表 7 极板间距在15~100 μm变化时电容变化率 |
| 标定编号 | 1 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 拟合斜率/ (pF·μm-1) | -0.141 6 | -0.140 4 | -0.140 4 | -0.151 6 | -0.138 1 |
对极板间距在60~100 μm变化时各个标定的拟合结果进行分析，电容随位置变化率如表 8所示，变化率的均值为-0.085 26 pF/μm。测量电容结果的最大标准差为0.003 pF，一般结果标准差在0.002 pF左右，则极板间距在15~100 μm发生变化时，等效最小位移分辨能力至少达到0.003/0.085 2=0.035 μm。
表 8 极板间距在60~100 μm变化时电容变化率 |
| 标定编号 | 1 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 拟合斜率/ (pF·μm-1) | -0.081 8 | -0.080 9 | -0.086 7 | -0.091 9 | -0.083 4 |
标定过程中，机械结构的调整精度比电容测量的精度对极板间距测量的影响更大。因此，之后在开展摆片变形测量时，不再调整装置，仅在固定位置处测量电容的变化量，避免引入其他误差。
4 结论
本文针对石英挠性加速度计中的关键敏感元件石英摆片，研究了纳米级变形原位测量的方法和测量装置。通过理论计算和仿真模拟建立了石英摆片挠性梁两侧镀膜应力差值与测量装置所得电容值的关系。搭建了基于电容法的非接触式石英摆片原位测量装置，标定了装置，验证了其可以测量20 nm级别的微小变形。该装置的开发不仅提高了石英摆片变形测量的精度和可靠性，还为加速度计的性能优化提供了重要的技术支持。此外，该方法的非接触特性使其适用于各种复杂环境条件下的原位测量，具有广泛的应用前景。
