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Journal of Tsinghua University(Science and Technology) >

2025 , Vol. 65 >Issue 7: 1347 - 1358

DOI: https://doi.org/10.16511/j.cnki.qhdxxb.2025.21.022

Traffic and Transportation

Bi-level programming model for differentiated toll discounts for expressway trucks

  • Shengyu YAN 1 ,
  • Jiaqi ZHAO 2 ,
  • Wenbo YOU 1 ,
  • Yang LIU 1 ,
  • Shijie HAO 1 ,
  • Fuwei WU , 1, *
Expand
  • 1. School of Automobile, Chang'an University, Xi'an 710018, China
  • 2. China National Heavy Duty Truck Group Co., Ltd., Jinan 250102, China

Received date: 2025-01-25

  Online published: 2025-06-26

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All rights reserved. Unauthorized reproduction is prohibited.
Fold

Abstract

Objective: Implementing differentiated toll discounts for expressway trucks can lead to a more balanced traffic flow across the road network. Expressway operators hope to make profits by charging truck tolls, while truck groups aim to maximize profits through toll charges, whereas truck groups focus on minimizing travel costs in terms of economics and time. A balance exists between the benefits of both parties; however, determining differentiated toll discounts for expressways to reach this balance is difficult. Methods: (1) Based on consumer surplus theory, key factors affecting freight route selection are identified using the preference survey of traveling behavior, and a bi-level programming model is proposed for determining differentiated toll discounts, incorporating assumptions and constraints. (2) The upper model, considering truck cost and travel time, is a surplus maximization model for expressway operators. It is solved using a novel algorithm enhanced by combining a genetic algorithm with simulated annealing. In the upper model, a lower limit on the financial revenue targets of highway operating enterprises is included the constraints to avoid overflow of lower bound returns during the iteration process. (3) The lower model leverages a logit-based stochastic user equilibrium allocation model for multiple vehicle types under elastic demand, solved using the Frank Wolfe algorithm. A generalized impedance function considering economic and time costs is established in the lower model to demonstrate the impacts of road conditions on truck travel. Cost weighting coefficients are introduced, and calculation methods and recommended values are proposed to integrate economics and time costs. (4) Detailed execution steps are provided for solving algorithms of the upper and lower models. The model also introduces model convergence criteria to optimize the iteration efficiency of the solving algorithm. A fitness function is proposed based on the financial lower bound target, and the upper model is transformed into a minimum value problem, eliminating the constraint of discounted rates. Results: The feasibility of the model is validated using toll collection data of expressway and link traffic data of highways, with three instance highway sections. A reasonable range suitable for implementing differentiated toll discounts can attract trucks back to the expressway, and increasing the daily average traffic volume for each vehicle type. After 43 iterations, the upper model achieves a stable function value. The toll discount rates for small trucks, medium trucks, heavy trucks, and extra-heavy trucks on the instance expressway fall within the ranges of 78.68%-86.27%, 55.82%-65.82%, 47.90%-54.81% and 47.52%-48.31% respectively; consequently, the average truck flow on the expressway increases by 12.24%. Conclusions: The conclusion demonstrates that the bi-level programming model can accurately determine the toll discount range for trucks on expressways; however, even with a discount rate of 4.7% for oversized trucks on nearly 100 km of the actual expressway, attracting all oversized trucks to return to the expressway remains challenging. Fuel and toll fees remarkably impact travel path selection within the generalized impedance function; moreover, the same toll discount produces notable differences in implementation effects across truck types. The research provides support for developing differentiated toll policies for expressways, as well as their subsequent optimization and adjustment.

Key words： transportation planning; expressway; toll discounts for trucks; bi-level programming model; consumer surplus theory; solving algorithm

Cite this article

Shengyu YAN , Jiaqi ZHAO , Wenbo YOU , Yang LIU , Shijie HAO , Fuwei WU . Bi-level programming model for differentiated toll discounts for expressway trucks[J]. Journal of Tsinghua University(Science and Technology), 2025 , 65(7) : 1347 -1358 . DOI: 10.16511/j.cnki.qhdxxb.2025.21.022

高速公路作为干线货物运输通道，是货车出行的重要载体。2021年，收费公路占公路总里程的3.55%，而高速公路占收费公路总里程的85.93%[1]。现阶段，普通公路基本不收费，吸引了大量货车行驶，引起局部路网货车流量分布不均，货车司机在选择高速公路或普通国省道作为出行路径时的矛盾持续存在。为均衡路网货车流量，对高速公路采取差异化收费政策是一种有效措施，如何确定路段通行费折扣成为高速公路运营管理领域的关键问题。
评估高速公路货运竞争力是确定差异化收费折扣的基础。高速公路多具有车辆运行速度快、拥堵概率小、路面平顺性好、车流构成简单的特点。货车司机选择出行路径时，会优先选择运输成本低或时效性高的路线，产生级差效益[2]；而高速公路运营企业则希望利用通行费折扣，使更多的货车回归高速公路行驶，实现“引车上路”的效果，这势必会存在一种“成本-收益”平衡，如何找到双方收益的平衡点是关键。
高速公路货运竞争力评估是宏观定性问题，应从货车司机群体一端来考虑，它涉及货车出行路径的选择行为描述和最优决策理论。现有研究中，有关出行路径选择的研究领域已形成以Logit模型、累积前景理论[3]、潜在类别模型[4]及博弈论[5]为主的理论体系。有关最优决策问题主要为非集计模型，包括Logit模型、MNL(multinominal logit)模型、NL(nested logit)模型、CNL(cross-nested logit)模型及多种改进的Logit模型等。Luce[6]在1959年首次根据非集计模型推导出Logit模型，后被广泛用于交通领域，多集中用在旅客出行方式和路径的选择问题上，而用在货运出行路径选择上较少。典型研究有：Arunotayanun等[7]分别利用MNL模型、NL模型和CNL模型对托运模式的选择行为建模，发现不同托运人在选择运输方式时存在偏好异质性；McFadden[8]在1974年建立了MNL模型，而后Gerken[9]据此提出了广义Logit模型，比MNL模型更为灵活，改进了IIA特性的局限性；张戎等[10]据此分析城市货运车辆出行路径选择行为；周国华等[11]引入偏好性因素，构建了改进的Logit函数模型分析市场分担率。
双层规划模型是解决经济领域内最优决策问题的常用模型，可用于考虑容量约束的竞争性定价策略问题[12]，现阶段多用于研究路网设计拥挤收费、优化模型、交通网络OD(origin-destination)反推等问题[13]，优点是可以在短时间内找到最优解，下层拥有相对自主的决策权，适用于多重相互关联因素的寻优决策问题建模。相关典型研究有：Yang等[14]采用双层规划研究确定网络收费模式，运用弹性需求网络均衡模型来确定供需均衡，将网络旅行需求降低到理想水平；Moreno等[15]提出一种双层规划模型来描述车辆实际货物装载量与道路维护、超载控制之间的最优决策问题；Bababeik等[16]通过引入双层规划模型，提出了货运铁路网络脆弱性的评估框架，将上层、下层模型转换为单层模型来降低求解难度；Chen等[17]考虑到预测线路价格、损失风险等因素，运用双层规划模型，提出无车承运人NTOCCs的运费支付策略定价方法。
已有研究多是针对货车出行路径选择偏好问题，考虑高速公路货运竞争力时，多局限于将高速公路收费模式与普通公路不收费的现状进行对比，将通行费成本视为不变成本，未引入灵活可变的差异化通行费折扣，即通行费成本的可变性质；过多的货车选择普通公路行驶后[18]，对普通公路维修养护工作、交通拥堵产生了不小的压力，且对邻近的高速公路利用率也有影响，目前尚未有将双层规划模型用于研究高速公路运营企业收益与货车群体运输成本的平衡博弈[19]和综合成本下路网流量的均衡需求。
本文以高速公路运营企业收支平衡为出发点，旨在通过实地调查影响货车出行路径选择的关键因素，考虑高速公路运营者、货车司机群体的综合成本效益[20]，基于双层规划理论，构建考虑货车出行路径选择的差异化收费定价模型并求解，确定最优通行费折扣，模拟改变通行费折扣后的货车出行路径选择综合效果。

1 路径选择行为SP调查

为掌握影响货运路径选择的关键因素，开展货运路径选择行为SP调查[21]，调查涵盖驾驶员付费方式、路径选择重视因素、费用成本与时间成本比例、费用成本细项、通行费占运费的比例、每周使用高速公路的频率、货车车型和运输距离等8项内容。2023年10月，选取宁夏物流园区、快递园区、建材市场、仓储中心等货车集聚区开展调查，获得608份有效问卷反馈，结果如表 1所示。
表 1 影响出行路径选择的关键因素
调查内容 关键因素 取值范围 样本量/个 比例/%
通行费出资方 个人承担 — 468 76.97
运输公司报销(含货主结算) — 140 23.03
重视因素 费用成本 无通行费 0 212 34.87
通行费占运费的比例 (0，20%] 320 52.63
(20%，50%] 64 10.53
(50%，100%] 12 1.97
时间成本 时效急运 0 164 26.97
不要求时效 (0，4h] 220 36.18
(4h，8h] 60 9.87
(8h，+∞) 164 26.97
最近一周内使用高速公路的趟次数比例 0 192 31.58
(0，20%] 152 25.00
(20%，50%] 128 21.05
(50%，80%] 64 10.53
(80%，100%] 72 11.84
可见，每4辆货车中约有1辆货车的通行费由运输公司报销(含货主结算)；不使用高速公路的货车占34.87%，究其原因为宁夏域内货车多承运煤炭、矿石等原材料，运费低，且多为挂靠车辆，运费中未预留通行费；有一半以上的货车司机常使用高速公路；对于时效性高的急运货物，货车司机多使用高速公路；受限于《道路交通安全法实施条例》中每4 h强制休息20 min的要求，货车司机多将行程时间压缩到4 h以内，当总行程时间超过8 h时，出行路径选择会变得复杂，法规对货车出行路径的影响常以时间成本体现；调查周内，货车司机不使用高速公路的比例超过31.58%。
现阶段，不太乐观的货运行业需求迫使高速公路利用率有所降低，货车纷纷转向更经济的普通国省道行驶。针对局部路段，通过制定差异化收费政策来提升高速公路利用率，是收费公路迈向自主调控的先进一步，且受到收费还贷压力，此举已迫在眉睫。货车司机在选择路径时，更重视费用成本和时间成本(通过规划总行程时间而节约出来的时间可用于产生其他价值[22])，新时期货车司机群体的时间价值观念也在逐渐加强。费用成本中燃油费和通行费的比例较大，时间成本也与路径里程、平均行驶速度等因素有关。由于高速公路的货运竞争力集中在级差效益上，包括成本效益和时间效益2方面，因而本文针对高速公路的货车通行费折扣研究主要考虑费用成本和时间成本。

2 模型构建

2.1 问题描述

以路网为视角，可将货运系统看作高速公路经营者、货车司机群体的集合。高速公路运营企业负责收费还贷、运营保障和日常维修养护等工作，主要关注以最少的运营消耗完成最大化的营收效益；货车根据基本费率和通行费折扣来选择意向出行路径，追求经济成本和时间成本最小化。双方的决策结果最终会达到一种Stackelberg平衡博弈状态[23]，可描述为一个双层规划模型，上层决策者为高速公路运营企业，下层决策者为货车司机群体。
为界定研究范围，提出假设：1) 货车司机的路径选择只与费用成本、时间成本的效用有关；2) 货车司机均以OD为起讫点；3) 货车司机的路径选择偏好在研究周期内不变，费用成本与时间成本互不影响；4) 上层决策者只关注高速公路企业营收效益，不考虑缓解交通拥堵等社会效益；5) 货车司机只能选择全程高速公路或全程普通国省道出行；6) 高速公路按照车型(轴)计费，不考虑同车型空车与重车在行驶相同里程的情况下缴纳同等通行费的心理落差；7) 绘制路网拓扑图时，对于相邻交通小区缺少交通量观测点的，将小区质心与最近的路网节点相连，形成虚拟的国省道，给定较大的交通阻抗；8) 为便于同步计算，将现行的高速公路货车6种收费车型简化为普通国省道4种车型。

2.2 模型构建

2.2.1 上层模型

消费者剩余(consumer surplus，CS)理论常用于交通系统的营收效益问题[24]，由上层决策者从货车司机群体获得的总营收减去总支出，总支出包括货车司机群体的费用成本、时间成本，常采用道路阻抗函数形式表示。上层决策者的财务收益源于货车司机群体缴纳的通行费，但为防止经营者制定高费率损伤货车司机群体利益，应在上层目标中扣除货车司机群体利益，即上层模型的优化目标是使货车司机群体通行费与其成本之差最大化，最优折后费率决策的上层模型为
$\begin{gathered}\max _y f(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}(\boldsymbol{y}), \boldsymbol{q}(\boldsymbol{y}))= \\\sum\limits_{w \in W} \sum\limits_{i \in I}\left\{b_i \int_0^{q_{w i}}\left[D_{w i}\left(x_{a i}\right)\right]^{-1} \mathrm{~d} x_{a i}\right\}- \\\sum\limits_{a \in A} \sum\limits_{i \in I} t_{a i}\left(x_{a i}(\boldsymbol{y})\right) x_{a i}\end{gathered} ;$
s. t.
$x_{a i} \leqslant c_{a 0} ;$
$y_{a i}^{\min } \leqslant y_{a i} \leqslant y_{a i}^{\max }, \quad \forall i \in I, \quad a \in A^* ;$
$y_{a i}=0, \quad \forall i \in I, \quad a \in A-A^* ;$
$\sum\limits_{a \in A^*}\left(\sum\limits_{i \in I} y_{a i} x_{a i}-B_a\right) \geqslant R .$
其中：a为路段，A为路段集合，A*为收费路段集合，A-A*为非收费路段集合，w为任一OD对，W为OD集合，i为车型，I为车型集合，y为折后费率向量(ya1 ya2 … ya4)，x为路段车流量向量(xa1 xa2 … xa4)，q为路径车流量向量(qa1 qa2 … qa4)，yai为路段a车型i的折后费率，yaimin、yaimax分别为路段a车型i的最小折后费率、最大折后费率，ca0为路段a的基本通行能力，bi为车型i的折算交通量系数，qwi为内车型i的车流量，Dwi(xai)为w内车型i的出行需求函数，xai(y)为折后费率y下路段a车型i的车流量，R为高速公路运营企业的财务下限目标，Ba为路段a的运营成本，tai(xai(y))为由xai(y)决定的路段a车型i的广义阻抗。
式(1)中的路段车流量x(y) 和OD路径车流量 q(y) 可由下层规划模型得到。

2.2.2 下层模型

1) 路径选择的Logit模型。
每一对OD的总车流量是货车选择并进行汇总的结果，而货车司机根据行驶里程、折后费率、交通拥堵程度等来选择路径，是一个随机用户分配过程(将OD路径的总车流量按照几种可行路径的比例进行分配)，使得任意一对OD的总车流量并非固定值，这种情况可描述为弹性需求下的随机用户均衡分配(stochastic user-equilibrium，SUE)问题[25]。然而，货车差异化收费政策多按车型执行，针对不同车型执行不同的折扣费率，且不同车型之间存在着运输成本、时间成本的差异性。
引入货车选择路径时的随机分配Logit模型，设货车选择的内路径w的车型i车流量为 $x_{k i}^w$，可表示为
$x_{k i}^w=p_{k i}^w q_{w i}=\frac{\mathrm{e}^{-\theta t_{k i}^w}}{\sum\limits_{k \in K_w} \mathrm{e}^{-\theta t_{k i}^w}} q_{w i}, \quad \forall k, i, w .$
其中：k为路径；Kw为路网w内的路径集合；pkiw为车型i在w内选择路径k的概率；qwi为w内车型i的车流量；θ为校正参数；tkiw为w内路径k上车型i的广义阻抗。
θ为非负常数，反映货车司机对路网信息的掌握程度。θ越大，货车司机掌握的路网信息越完整，选择路径的随机程度越小，认为货车司机选择了广义阻抗最小的路径；θ=0时，选择路径的随机程度最大，广义阻抗被忽略，各路径分配比例一致。
2) 考虑广义阻抗的出行需求函数。
pkiw可由tkiw计算而得。令货车司机在路网w内选择k路径的估计广义出行费用为Swi(tkiw)，欲使Swi(tkiw)减小，则tkiw也应减小，也就是使pkiw增大，可理解成pkiw为Swi(tkiw)对tkiw的偏导数，即
$p_{k i}^w=\frac{\partial S_{w i}\left(t_{k i}^w\right)}{\partial t_{k i}^w}$
对pkiw作积分处理，可得到
$\begin{gathered}S_{w i}\left(t_{k i}^w\right)=E\left[\min _{k \in K_w}\left(t_{k i}^w\right) \mid t_i^w\right]= \\-\frac{1}{\theta} \ln \sum\limits_{k \in K_w} \mathrm{e}^{-\theta t_{k i}^w}+\varepsilon_{w i} .\end{gathered}$
其中：tiw为w内所有路径上车型i的广义阻抗之和；εwi为Swi(tkiw)的估计误差项，为Gumbel分布随机变量。
当OD的总车流量发生弹性变化时，w内车型i的车流量qwi应附加最大潜在需求来限制弹性变化的规模，则有
$q_{w i}=D_{w i}\left(S_{w i}\left(t_{k i}^w\right)\right) \leqslant q_{w i}^{\max } .$
其中：qwimax为qwi的最大潜在需求；Dwi(Swi(tkiw))为w内车型i关于Swi(tkiw)的出行需求函数。
此时形成的平衡状态为弹性需求下基于Logit的多车型SUE状态。出行路径选择的影响因素复杂，具有随机性和偶然性，是一个多类别、多准则的决策过程。货物运输过程中的广义成本是影响货车选择的关键因素，产生于货车的时间成本和费用成本，而费用成本又包括通行费成本和车辆运营成本(主要考虑燃油费)，需要将广义成本采用行程费用函数予以具象化表达。
3) 广义阻抗函数。
车流量分配与广义阻抗函数有关。引入阻抗函数，用于描述每个路段上车流量与广义行程费用函数的关系[26]。广义阻抗由各路段的时间阻抗和费用阻抗构成。费用阻抗中考虑货车通行费和除通行费成本之外的其他运营成本如燃油费等；时间阻抗中考虑路段通行能力、里程、车流饱和度、设计车速等因素。广义阻抗函数为
$\begin{gathered}t_{a i}\left(x_{a i}\right)=\left[\eta_1 \frac{l_a}{v_a}+\eta_2 \varphi_i\left(m_{a i, 1}+m_{a i, 2}\right)\right] \cdot \\{\left[1+\alpha\left(\sum\limits_{i \in I} b_i x_{a i} / c_a\right)^\beta\right] .}\end{gathered}$
其中：tai(xai)为由xai决定的路段a车型i的广义阻抗；α、β均为待定系数，通常α取0.15，β取4.0；ca为路段a的实际通行能力，由ca0经车道宽度、路肩宽度、交通构成等系数换算得来[27]；η1、η2分别为货车的时间成本、费用成本权重参数；la为路段a的行驶里程；φi为将车型i费用成本转换为时间成本的因子；mai，1和mai，2分别为路段a车型i的通行费成本和车辆运营成本；t0为货车的时间成本；va为路段a的设计车速。
φi至关重要。依据货车所处地区的人均GDP(gross domestic product)，统一将费用成本转化为时间成本：
$\varphi_i=\frac{t_i d}{G \lambda_1 \lambda_2}$
其中：ti为车型i的全程出行时间；G为所处地区的人均GDP；d为货车司机的年均工作日；λ1为时间成本系数，对于货车司机，上下班通勤时取0.5，有货运业务时取1.0，其他时间取0.25；λ2为时间成本修正系数[28]，取0.50。
4) 基于SUE理论的下层模型。
结合第1章中针对货车司机调查得到的关键影响因素，将费用阻抗和时间阻抗作为货车司机的决策变量，使货车的广义行程费用函数最小化，根据SUE理论[29]，结合最小化的上层模型，构建下层规划模型为
$\begin{aligned}\min _{x, q} U= \frac{1}{\theta}\left[\sum\limits_{w \in W} \sum\limits_{k \in K} \sum\limits_{i \in I} b_i x_{k i}^w\left(\ln x_{k i}^w-1\right)-\right. \\\left.\sum\limits_{w \in W} \sum\limits_{i \in I} b_i q_{w i}\left(\ln q_{w i}-1\right)\right]+ \\\sum\limits_{a \in A} \int_0^{x_a} t_{a i}(u) \mathrm{d} u-\sum\limits_{w \in W} \sum\limits_{i \in I} b_i \int_0^{q_{w i}}\left[D_{w i}(u)\right]^{-1} \mathrm{~d} u ;\end{aligned}$
$\sum\limits_{b \in K} x_{k i}^w=q_{w i}, \quad \forall w, i ;$
$x_{k i}^w \geqslant 0, \quad q_{w i} \geqslant 0, \quad \forall k, w, i ;$
$x_{a i}=\sum\limits_{w \in W} \sum\limits_{k \in K} x_{k i}^w \delta_{a k}^w .$
其中：δakw为路段a与路径k相关性的逻辑变量，K为所有路网内的路径集合。当a属于w内的k时，δakw取值为1；否则为0。

3 模型求解

3.1 GASA混合优化算法

双层规划模型是一种典型的NP-hard问题，上层目标函数多为非凸的，且求解过程复杂，收敛精度不高，通常可求得局部最优解，难以计算全局最优解。模拟退火算法(simulated annealing，SA)是Mente-Carlo迭代的单解元启发式算法，鲁棒性强，且能找到全局最优解[30]，但迭代次数多；遗传算法(genetic approach，GA)可实现自动寻优过程，迭代次数相对较少[31]。
GASA混合优化算法[32]结合了遗传算法的并行结构和模拟退火算法的概率突跳性，其求解思路是先编码上层模型的决策变量，计算上层目标函数的适应度，再经过复制、交叉、变异及模拟退火算法后得出最优的近似解。
步骤1  初始化：
1) 确定遗传算法中的交叉概率pc、变异概率pm、每一代种群中的初始个体数目N、最大进化数umax，取起始进化代数u=0；
2) 确定模拟退火算法中的迭代次数M、初始温度T，并令T=T0；
3) 由上层规划问题中的目标函数得到适应度函数，对上层模型的决策变量进行编码，产生初始种群X(u=1)=(x1(1), x2(1), …, xj(1), …, xN(1))，j=1, 2, …, N。
步骤2  将初始种群X(u)带入下层规划求解，采用Frank-Wolfe算法进行SUE分配，计算每个个体xj(u)的适应度。若u达到umax，则适应度最小的染色体为下层模型的最优解；否则转步骤3。
步骤3  根据适应度复制X(u)。
步骤4  根据pc，执行单点交叉操作。
步骤5  根据pm，执行单点变异操作，令u=u+1，得到新种群X(u)中个体的适应度。
步骤6  令j=1，对X(u)进行模拟退火：
1) 若j=N，转步骤7；否则令u=1，转下一步。
2) 运用状态生成函数得到个体xj(u)的新状态，代入下层模型进行SUE分配，计算前要对新个体进行解码操作，计算出上层模型的目标函数值，得到其适应度。
3) 以Metropolis准则接受新个体。
4) 若u=M，令j=j+1，转步骤1；否则令u=u+1，转步骤2。
步骤7  退温，令T=0.5T，转步骤8。
步骤8  判断遗传代数，达到最大时，终止计算得到最优解；否则转步骤2。

3.2 适应度函数

确定适应度函数时，应考虑消除有关折后费率的约束条件，可将折后费率放入求解算法编码中，针对高速公路运营企业的财务目标约束R，可采用惩罚函数嵌入上层模型中，变换为
$\widetilde{f}=-f+\rho P(\omega) .$
其中：ρ为惩罚系数，本文取ρ=100；P(ω)为惩罚函数；$\widetilde{f}$为上层模型嵌入惩罚函数后的变换值。
$P(\omega)=\omega^2 ;$
$\omega=\left|\sum\limits_{a \in A^*} \sum\limits_{i \in I} x_{a i} m_{a i, 1}-R\right| .$
得到上层模型的适应度函数为
$\hat{f}=\mathit{Φ}-\widetilde{f} .$
其中Φ为预设的一个足够大的正整数，取Φ=50 000。
上述流程结束后，上层模型转化为极小值问题，便于计算。

3.3 Frank-Wolfe算法求解

为保证实例路段上不同车型的货车流量具有唯一解，使下层目标函数变为严格凸函数，采用Frank-Wolfe算法求解弹性需求下的SUE模型。对下层模型添加附加式$\sum\limits_{a \in A} \sum\limits_{i \in I} g b_i x_{a i}^2 / 2$，其中g为极小的正数，迭代一次其值减小一半，即g(r+1)=0.5g(r)，此时求解算法的步骤如下。
步骤1  初始化。根据式(10)，由于路段a的车流量为
$x_a^{(r)}=\sum\limits_{i \in I} b_i x_{a i}^{(r)}, $
则路段a上车型i的初始广义阻抗为
$\begin{gathered}t_{a i}^{(0)}=\eta_1 \frac{l_a}{v_a}+\eta_2 \varphi_i\left(m_{a i, 1}+m_{a i, 2}\right), \\\forall a \in A^*, i \in I .\end{gathered}$
运用全有全无法，加载各车型OD，令r=1，g取0.001，则车型i的路段流量xai(1)满足
$x_a^{(1)}=\sum\limits_{i \in I} b_i x_{a i}^{(1)}, \quad \forall a \in A, i \in I .$
步骤2  更新各类型货车路段阻抗。
$\begin{gathered}t_{a i}^{(r)}=\left[\eta_1 \frac{l_a}{v_a}+\eta_2 \varphi_i\left(m_{a i, 1}+m_{a i, 2}\right)\right] . \\{\left[1+\alpha\left(\sum\limits_{i \in I} b_i x_{a i}^{(r)} / c_a\right)^\beta\right], \quad \forall a \in A^*, i \in I .}\end{gathered}$
步骤3  确定可行方向。采用全有全无法加载OD，得到车型i的辅助路段流量$f_{a i}^{(r)}$为
$f_a^{(r)}=\sum\limits_{i \in I} b_i f_{a i}^{(r)}, \quad \forall a \in A, i \in I .$
步骤4   求迭代步长Ω，其解为g(r)(0≤g≤1)，令
$x_{a i}^{(r+1)}=x_{a i}^{(r)}+\mathit{Ω}\left(f_{a i}^{(r)}-x_{a i}^{(r)}\right) .$
采用二分法求解一维极小值问题，可表示为
$\begin{gathered}\min \left\{\left[\eta_1 \sum\limits_{a \in A} \sum\limits_{i \in I} \frac{l_a}{v_a} x_{a i}^{(r+1)}+\right.\right. \\\left.\eta_2 \sum\limits_{a \in A} \sum\limits_{i \in I} \varphi_i\left(m_{a i, 1}+m_{a i, 2}\right) x_{a i}^{(r+1)}\right] \cdot \\\left.\left[1+\alpha\left(\sum\limits_{i \in I} b_i x_{a i}^{(r+1)} / c_a\right)^\beta\right]+\sum\limits_{a \in A} \sum\limits_{i \in I} \frac{g b_i}{2}\left(x_{a i}^{(r+1)}\right)^2\right\} \cdot\end{gathered}$
步骤5  更新路段流量。
$ x_a^{(r+1)}=\sum\limits_{i \in I} b_i x_{a i}^{(r+1)}, \quad \forall a \in A, i \in I . $
步骤6  收敛性检验。收敛性判断指标σ为
$\sum\limits_{i \in I} b_i\left(\frac{\sqrt{\sum\limits_{a \in A}\left(x_{a i}^{(r+1)}-x_{a i}^{(r)}\right)^2}}{\sum\limits_{a \in A} x_{a i}^{(r)}}\right) \leqslant \sigma .$
当式(29)成立时，迭代结束；否则令r=r+1，g(r+1)=0.5g(r)，重复以上步骤。模型的求解步骤如图 1所示。
图 1 模型求解算法与执行步骤

4 实例验证分析

4.1 路段选取与参数分析

选取宁夏回族自治区内3组并行的高速公路与普通国省道作为模型验证分析的实例(见表 2)，现拟对高速公路3条实例路段制定差异化收费政策，需确定通行费折扣。
表 2 并行的3条实例路段基础参数
组别 路段起止点 所属干线公路名称 双向车道数/条 la/km va/(km·h-1) ca0/(pcu·h-1)
1 盐池-古窑子 青银高速G20 6 89 120 13 200
国道G307 2 85 80 2 500
2 平罗-永宁 福银高速G70 4 83 100 10 000
国道G344 4 95 80 7 200
3 泾源-灵武 京藏高速G6 4 82 100 10 000
国道G109 2 95 80 5 000
表 3 实例路段的货车收费费率
车型 轴数 载重特征/t 总质量限值/t 每车计费费率/(元·km-1)
1类 2(车长＜6 m) ≤2 4.50 0.50
2类 2(车长≥6 m) (2, 5] 18.00 1.09
3类 3 (5, 10] 27.00 1.48
4类 4 (10, 15] 36.00 1.87
5类 5 ＞15 43.00 2.18
6类 6 — 49.00 2.44
表 4 实例路段的广义阻抗与交通需求计算结果
公路名称与编号 小型货车 中型货车 大型货车 特大型货车 la/km ta/h ca/(pcu·h-1)
阻抗值 qw1/(辆·d-1) 阻抗值 qw2/(辆·d-1) 阻抗值 qw3/(辆·d-1) 阻抗值 qw4/(辆·d-1)
青银高速G20 5.20 2 046 10.16 808 13.49 915 17.72 3 790 89 1.11 10 000
国道G307 5.90 9.08 10.50 11.80 85 1.70 2 500
福银高速G70 4.82 4 645 9.39 1 192 12.43 680 16.34 2 260 82 1.03 9 000
国道G344 6.60 10.22 11.74 13.19 95 1.90 5 000
京藏高速G6 4.87 3 615 9.50 967 12.58 745 16.53 6 320 83 1.04 9 000
国道G109 6.60 10.22 11.74 13.19 95 1.90 7 200
依托该省域2020—2022年高速公路TCD和普通公路LTD，运用SQL Sever通过数据编程语言，对TCD、LTD进行检查、清洗、提取、挖掘等处理，得到各车型OD统计数据。运用TransCAD绘制省域路网拓扑图，在拓扑图上标记收费站和交通量观测站位置，通过统计数据得到各车型的断面车流量。
按照《收费公路车辆通行费车型分类》(JT/T 489—2019)，小型货车为1类，中型货车为2类，大型货车为3类，特大型货车为4~6类。整理数据得到2020—2022年各车型货车流量(见表 5)，其中ca和ca0均采用每小时平均的折算交通量(passenger car unit)来表示，单位为pcu/h[33]。
表 5 实例路段的货车流量分配结果
路段起止点 实例路段 小型货车 中型货车 大型货车 特大型货车
η1/% 实施前/(辆·d-1) 实施后/(辆·d-1) η2/% 实施前/(辆·d-1) 实施后/(辆·d-1) η3/% 实施前/(辆·d-1) 实施后/(辆·d-1) η4/% 实施前/(辆·d-1) 实施后/(辆·d-1)
盐池-古窑子 青银高速G20 81.43 720 786 55.82 465 517 53.26 345 397 47.52 1 226 1 408
国道G307 — 854 788 — 156 104 — 346 294 — 1 683 1 501
平罗-永宁 福银高速G70 86.27 741 828 61.99 412 463 47.90 231 267 48.31 2 568 2 805
国道G344 — 2 035 1 948 — 327 276 — 342 306 — 2 282 2 045
泾源-灵武 京藏高速G6 78.68 1 079 1 197 65.82 511 578 54.81 141 168 48.28 723 846
国道G109 — 2 496 2 378 — 403 336 — 390 363 — 1 016 893
可见，货车流量空间分布并不均，普通国省道分担了一半以上的货车流量，小货车流量差异性最大；各路段内，小货车和特大货车流量的比例远大于中货、大货车流量，车型呈现流量分化的状态。

4.2 模型可行性验证

高速公路、普通国省道的平均货车车速分别取80、50 km/h，取0号柴油价格6.28元/L，青银高速G20盐池-古窑子段、福银高速G70平罗-永宁段和京藏高速G6泾源-灵武段的财务下限目标分别为4 380、4 089和4 041万元。路段自由流时间采用路阻函数计算。普通国省道不收费，高速公路按照统一费率计费，特大型货车(4、5、6类)按照收费费率均值计算，如表 3所示。
1) 广义阻抗函数。
改进的阻抗函数中η1、η2分别取0.35、0.65，α、β分别取0.15、4.0。以高速公路为例，其广义阻抗算式为
$t_a=\left[\frac{0.35 l_a}{80}+\frac{0.65\left(m_{a, 1}+m_{a, 2}\right)}{t_2}\right]\left[1+0.15\left(\frac{x_a}{c_a}\right)^4\right] .$
其中ma, 1和ma, 2分别为路段a的通行费成本和车辆运营成本。
2) 用户时间价值。
计算货车的时间成本时，人均GDP取2019年的5.25万元/人。货车驾驶员的年均工作日取250 d，λ1取1.0，λ2取0.5，可得货车驾驶员使用高速公路和普通国省道时，每车出行时间成本分别为21.00和13.13元/h。
3) 实际通行能力ca。
$c_a=c_{a 0} f_{\mathrm{c}} f_{\mathrm{s}} f_{\mathrm{h}} .$
其中：fc为车道宽度修正系数，取1.0；fs为路肩宽度修正系数，取1.0；fh为交通组成修正系数，根据实际车型交通量比例及折算系数求得。
4) 交通需求。
货车的OD出行矩阵与路网的服务水平相关。当路网出现拥堵时，一部分货车会改变出行路径[30]，此时交通需求量小于潜在交通需求量。交通需求函数采用负指数函数：
$q_{w i}=\hat{q}_{w i} \exp \left(-\mu t_{k i}^w\right), \quad \forall w, k, i .$
其中：$\hat{q}_{w i}$为不同车型i对w间的潜在交通需求；μ为交通需求对费用成本的灵敏度系数。
令通行费折扣率为ηi，则ηi为车型i的折后费率与基础费率之比即通行费折扣率。根据上述参数，计算得到广义阻抗、交通需求结果如表 4所示，实例路段实施的ηi与实施后的车流量结果如表 5所示。
由表 5可见，在3条实例路段上，当高速公路运营者和货车司机群体各自的成本效益达到平衡状态时，高速公路小型、中型、大型和特大型货车的通行费折扣率分别维持在78.68%~86.27%、55.82%~65.82%、47.90%~54.81%和47.52%~48.31%，使高速公路货车流量平均增加12.24%，区域路网利用率更为均衡。根据表 5，3个实例并行路段在实施通行费折扣后的货车流量增幅如图 3所示。
由图 2可见，3个实例路段的la均小于100 km，对小型、中型、大型和特大型货车分别实施通行费平均折扣比例为8.2折、6.5折、5.2折和4.7折时，可使高速公路上4种类型货车的流量分别增加10.61%、12.22%、16.60%和13.70%。还表明即使在近100 km的实例路段上，对特大型货车的通行折扣率达到4.7折，仍难吸引全部的特大型货车回归高速公路。研究还发现，广义阻抗tai中对货车路径选择影响最大的是mai，2，当燃油费变动不大时，mai，1中基础费率和通行费折扣成为货车选择路径的关键。
图 2 实例并行路段货车流量的变化
采取较高的η3、η4，会使大型、特大型货车回归高速公路行驶，但这并不意味着，采取同样高的η1、η2，会使小型、中型货车也会回归高速公路。双层规划模型更注重上层模型在各车型之间总体收益均衡的结果，由于大型、特大型货车的基础费率高，在将下层模型结果代入到上层模型计算时，对上层模型结果的影响大；而小型、中型货车对上层模型结果的影响小，可用于车型之间的调和过程，使上层模型最终收益达到最优效果。
采用GASA混合优化算法求解模型，令N=80，终止准则为满足umax=200，取单点交叉操作pc=0.5，pm=0.35，T0=100，退温速率为0.5，运用Matlab求解模型时，上层模型迭代了43次，结果为6.665 5×105时趋于平稳，如图 3所示。
图 3 上层模型结果随迭代次数的变化
图 3中上层模型结果随迭代次数的增加而升高，并逐渐趋于稳定；第19次迭代后，模型结果波动性明显减小；总体迭代43次，模型运行效率高，可保证短时间内得到折扣最优解。
在一定期限内，通过调整高速公路的通行费折扣，可使行驶于普通国省道的货车回归高速公路。当整体货运行业形势不够景气时，货运从业者收益被压缩，甚至可能会产生即使面对50%以下低折扣时货车仍不回归的现象，表明在有限的利润空间内，货运路径的选择是一种多方面、多角度平衡博弈过程，需仔细测算方可确定通行费折扣。

5 结论

本文揭示影响货车出行路径选择的关键因素，提出了高速公路货车通行费折扣双层规划模型。建立路网经营者盈余最大化模型和弹性需求下基于Logit的SUE分配模型，求解算法在3个实例路段上均寻优到了平衡点，证明采用双层规划模型可以得到合理的高速公路通行费折扣范围，采用GASA算法和Frank-Wolfe算法能够有效降低双层规划模型的迭代次数。
差异化收费有多种模式，本文模型适用于路网内货车出行路径存在多种选择，吸引普通国省道车流回归并行的高速公路等情况，也可搭配国家部委在2021年提出的6种典型差异化收费模式来使用。
货运路径选择是多方、多角度的博弈过程，未来将进一步扩展“递远递减”的通行费折扣方案，也可利用大数据平台，考虑收费还贷压力，筛选适配于差异化收费政策的路段，完成政策的制定、后评价和优化调整，如分时段(平峰、高峰)差异化收费用于调整路网分时流量，分空重车差异化收费用于提高路网空车行驶量，分行驶里程或积分制差异化收费用于激励更多的车辆在跨省行驶时选择高速公路出行。

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