(J, L)-规则QC-LDPC码的校验矩阵是一个J×L的阵列，其中J和L分别为校验矩阵的列重和行重。J对于QC-LDPC码的性能有较重要的影响，已有研究一般围绕J为3和J为4的情况进行研究。J为3时的显式构造方法相对较多，例如Vasic等[7]基于“最早序列”提出了一类围长为8的(3, L)-规则QC-LDPC码；Zhang等[8]基于移位序列(shifting sequence, SS)提出了一类围长为8的(3, L)-规则QC-LDPC码。J为4的显式构造方法比J为3的难度更大，目前只有几种，例如Liu等[9]首次使用显式方法构造出围长为8的(4, L)-规则QC-LDPC码；张国华等[10]基于max函数提出了一种围长为8的(4, L)-规则QC-LDPC码的显式构造方法；此外，也可利用最大公约数(greatest common divisor, GCD)方法构造围长为8的(4, L)-规则QC-LDPC码[11]。
受这些显式构造方法的启发，并基于研究团队前期利用SS构造的围长为8的(3, L)-规则QC-LDPC码[8]，本研究提出了一种基于SS构造围长为8的(4, L)-规则QC-LDPC码的显式方法，该方法无须依赖计算机搜索，能够通过公式直接生成所需的码，且描述复杂度很低。
1 QC-LDPC码简介
1.1 指数矩阵及循环块尺寸
LDPC码作为一种线性分组码，通常由一个二进制稀疏奇偶校验矩阵(PCM)H的零空间定义。(J, L)-规则QC-LDPC码的PCM由相同大小的循环块构成。本文在QC-LDPC码的构造中使用的循环块为循环置换矩阵(circulant permutation matrix, CPM)，其PCM可以用一个J×L的指数矩阵E和循环块尺寸P共同描述。指数矩阵E的形式如(1)所示：
其中：e(r, i)代表E中的元素(0≤r≤J-1, 0≤i≤L-1)，且e(r, i)∈{0, 1, …, P-1}。指数矩阵E中的每个元素e(r, i)均对应于一个特定的P×P的CPM。具体来说，这个CPM是一个P×P的矩阵，其第零行中唯一的非零元素位于第e(r, i)列，其余每行则是将其前一行向右循环移动一个位置得到。
1.2 4环和6环的存在条件
短环通常指长度为4(简记为4环)和长度为6的环，是影响QC-LDPC码性能的一个重要因素。在QC-LDPC码中，围长是指最短环的长度，是一个不小于4的偶数。在Tanner图中，任意长度为2l(l为正整数)的环均可以通过模等式来表达[4]。以下叙述4环和6环存在的条件：
1) 假设i、j是2个不同的列索引(0≤i＜j≤L-1)，而r、s是2个不同的行索引(0≤r＜s≤J-1)。
用“(r, s; i, j)-4环”表示位于指数矩阵的第r行和第s行，以及第i列和第j列中长度为4的环，4环可用如下等式表示：
2) 假设i、j和k是3个不同的列索引(0≤i, j, k≤L-1)，而r、s和t是3个不同的行索引(0≤r＜s＜t≤J-1)。
用“(r, s, t; i, j, k)-6环”表示位于指数矩阵的第r、第s和第t行，以及第i、第j和第k列中长度为6的环，6环可用如下等式表示：
通过巧妙地设计指数矩阵E，可以有效消除Tanner图中的4环和6环，从而提升QC-LDPC码的译码性能。本研究基于移位序列，提出了一种适用于任意行重L的新显式构造法，能够确保新码不存在4环和6环，即新码围长至少为8。
2 基于SS构造的围长为8的新码
2.1 新码构造方法
令ESS为一个4×L的指数矩阵，其每一行的定义如式(4)所示：
其中0≤i≤L-1。为了清晰地理解指数矩阵ESS的结构，给出一个示例：令L=7，得到如下指数矩阵
观察式(5)可知，除第一行和第三行的第零个元素外，其余元素均为上一行元素向右移动一个位置所得，这表明上述矩阵具有移位特性。为方便后续证明，新码的移位特性可表示为如下等式：当1≤i≤L-1时，e(1, i)=e(0, i-1)，否则e(1, 0)=0；当1≤i≤L-1时，e(3, i)=e(2, i-1)，否则e(3, 0)=0。
2.2 围长特性为8的证明
令$ \lfloor L / 2\rfloor$ 表示不超过L/2的最大整数。
引理1 对于任意CPM循环块尺寸P≥e(2, L-1)-L+1=L[(L-1)/2+L]-L+1，指数矩阵ESS对应的Tanner图中无4环。
证明 设i和j是不同的列索引，0≤i＜j≤L-1。因此，需分别考虑以下6种情形。
情形1：(0, 1; i, j)-4环。
基于特殊值e(1, 0)，考虑以下2种情况：
1) i=0，依据移位特性，式(2)可转化为e(0, j-1)-e(0, j)=0(mod P)，这显然不成立；
2) i≥1，依据移位特性，式(2)可转化为e(0, i)-e(0, i-1)+e(0, j-1)-e(0, j)=0(mod P)。由于等式左侧(简写为LHS)不为0，因此得出0＜|LHS|≤L-1＜P。这表明在(0, 1)行存在4环的假设是不成立的。
情形2：(0, 2; i, j)-4环。
根据|e(2, j)-e(2, i)|＞L及|e(0, j)-e(0, i)|＜L，可得LHS≠0。由于|LHS|≤L[(L-1)/2+L]-L＜P，因此式(2)不成立。这表明在(0, 2)行不存在4环。
需要说明的是，当i=0，j=L-1(L为奇数)时，可知P的下界为e(2, L-1)-L+1。
情形3：(0, 3; i, j)-4环。
由于|e(3, j)-e(3, i)|≥L且|e(0, j)-e(0, i)|＜L，可得LHS≠0。又因e(3, j)-e(3, i)＜e(2, j)-e(2, i)，故有|LHS|＜|e(0, i)-e(2, i)+e(2, j)-e(0, j)|。基于情形2可知在(0, 3)行不存在4环。
情形4：(1, 2; i, j)-4环。
由于|e(2, j)-e(2, i)|>L且|e(1, j)-e(1, i)|＜L，可得LHS≠0。基于特殊值e(1, 0)，考虑以下2种情况：
1) i=0，|LHS|≤L[(L-1)/2+L]-L＜P，显然式(2)不成立；
2) i≥1，由于|LHS|≤L[(L-1)/2+L]-(2L+1)＜P，这与式(2)矛盾。由此可得，在(1, 2)行不存在4环。
需要说明的是，当i=0，j=L-1(L为偶数)时，可知P的下界为e(2, L-1)-L+1。
情形5：(1, 3; i, j)-4环。
由于|e(3, j)-e(3, i)|≥L且|e(1, j)-e(1, i)|＜L，可得LHS≠0。又因e(3, j)-e(3, i)＜e(2, j)-e(2, i)，故有|LHS|＜|e(1, i)-e(2, i)+e(2, j)-e(1, j)|。基于情形4可知在(1, 3)行不存在4环。
情形6：(2, 3; i, j)-4环。
基于特殊值e(3, 0)，考虑以下2种情况：
1) i=0，由于LHS=-j，因此式(2)不成立；
2) i≥1，|LHS|=j-i＜P，可知式(2)亦不成立。因此，在(2, 3)行不存在4环。
根据上述证明可知，新码无4环。证毕。
引理2 对于任意CPM循环块尺寸P≥e(2, L-1)-$ \lfloor L / 2\rfloor$ =L[(L-1)/2+L]-$ \lfloor L / 2\rfloor$ ，指数矩阵ESS对应的Tanner图中无6环。
证明 设i、j、k是不同的列索引(0≤i, j, k≤L-1)。因此需要分析以下4种情形。
情形1：(0, 1, 2; i, j, k)-6环。
由于|e(2, k)-e(2, i)|>L且|e(1, k)-e(1, j)+e(0, j)-e(0, i)|＜L，可得LHS≠0。在这3行中，特殊值为e(1, 0)，因此需考虑以下3种情况：
1) j≠0且k≠0，由于$ |\mathrm{LHS}|<L[(L-1) / 2 +L]-L+\lfloor L / 2\rfloor \leqslant P$ ，因此式(3)不成立；
2) j=0，式(3)变为e(0, i)-e(2, i)+e(2, k)-e(1, k)=0(mod P)，由于|LHS|≤L[(L-1)/2+L]-(2L+1)+1＜P，矛盾；
3) k=0，经分析，当L为偶数时，$ |\mathrm{LHS}| <L [(L-1) / 2+L]-L+\lfloor L / 2\rfloor \leqslant P$ ；当L为奇数时，$ |\mathrm{LHS}| \leqslant L[(L-1) / 2+L]-L+\lfloor L / 2\rfloor <P$ 。因此，在(0, 1, 2)行不存在6环。
需要说明的是，当i=0，j=L-2，k=L-1(L为偶数)或i=L-1，j=L-2，k=0(L为奇数)时，可知P的下界为e(2, L-1)-$ \lfloor L / 2\rfloor$ ，不能再小。
情形2：(0, 1, 3; i, j, k)-6环。
考虑到|e(3, k)-e(3, i)|≥L且|e(0, j)-e(0, i)+e(1, k)-e(1, j)|＜L，可得LHS≠0。又因|e(3, k)-e(3, i)|＜|e(2, k)-e(2, i)|，故有|LHS|＜|e(0, i)-e(2, i)+e(2, k)-e(1, k)+e(1, j)-e(0, j)|。基于情形1可知在(0, 1, 3)行不存在6环。
情形3：(0, 2, 3; i, j, k)-6环。
通过对式(3)左侧加项减项(引入e(2, i))并化简可知，当且仅当e(0, i)+e(2, j)-e(0, j)-e(2, i)=k-i时，LHS=0。由于|k-i|＜L且|e(0, i)+e(2, j)-e(0, j)-e(2, i)|≥L，可得LHS≠0。在这3行中，特殊值为e(3, 0)，因此需考虑以下3种情况：
1) i≠0且k≠0，由于|LHS|≤L[(L-1)/2+L]-(L+1)＜P，因此式(3)不成立；
2) i=0，由于|LHS|≤L[(L-1)/2+L]-(L+1)＜P，与式(3)相矛盾；
3) k=0，由于|LHS|≤L[(L-1)/2+L]-L-L+1＜P，式(3)同样不成立。因此在(0, 2, 3)行不存在6环。
情形4：(1, 2, 3;i, j, k)-6环。
采用与情形3相同的证明方法，可得LHS≠0。在这3行中，特殊值为e(1, 0)和e(3, 0)，因此需考虑以下4种情况：
1) i, j, k≠0，由于|LHS|≤L[(L-1)/2+L]-L-(L+2)＜P，因此式(3)不成立；
2) i=0，由于|LHS|≤L[(L-1)/2+L]-(L+1)＜P，式(3)同样不成立；
3) j=0，由于LHS=e(1, i)-e(3, i)+e(3, k)-e(2, k)+L＜0，可得|LHS|≤(L-1)[(L-2)/2+L]+L-2=L[(L-1)/2+L]-L-1＜P，与式(3)矛盾；
4) k=0，由于|LHS|≤L[(L-1)/2+L]-L-L＜P，与式(3)矛盾。因此在(1, 2, 3)行不存在6环。
根据以上证明可知，新码无6环。证毕。
需要注意的是，由无4环的情形2和情形4可知，P的下界为e(2, L-1)-L+1。由无6环的情形1可知，P的下界为$ e(2, L-1)-\lfloor L / 2\rfloor$ 。
由于指数矩阵中包含子矩阵[0 1 0 2; 0 0 1 0]，因此存在等式(1-0)+(0-2)+(0-0)+(1-0)=0(mod P)，这表明在该指数矩阵中存在不依赖于P的8环。因此根据引理1和引理2可得以下定理：
定理1 对于任意CPM循环块尺寸P≥e(2, L-1)-$ \lfloor L / 2\rfloor$ =L[(L-1)/2+L]-$ \lfloor L / 2\rfloor$ ，指数矩阵ESS对应的Tanner图围长为8。
3 性能仿真
本节将新码与现有的4种QC-LDPC码进行对比。仿真过程采用BPSK调制、加性Gauss白噪声(additive white Gaussian noise, AWGN)信道和最大迭代次数为50的和积译码算法(sum-product algorithm, SPA)。
3.1 新码与GCD码的性能对比
3.2 不同P时新码与GCD码的性能对比
3.3 新码与对称码的性能对比
3.4 新码与已有SS码的性能对比
3.5 新码与5G码的性能对比
4 结论
本文提出了一种构造围长为8的(4, L)-规则QC-LDPC码的显式方法，该方法通过特定公式定义的指数矩阵具有移位特性。译码性能对比表明，新码在性能上优于GCD码；新码与对称码性能接近，但无须搜索且描述复杂度低；新码在高信噪比区域有超越5G码的潜力。总之，新码具有以下特点：1) 适用于任意行重L；2) 无须借助计算机搜索，可以凭借公式显式构造，描述复杂度低。
