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Journal of Tsinghua University(Science and Technology) >

2025 , Vol. 65 >Issue 11: 2024 - 2031

DOI: https://doi.org/10.16511/j.cnki.qhdxxb.2025.27.042

Frontiers in New-Quality Communication Technology

Spatially coupled LDPC codes based on multi-weight circulant matrix decomposition

  • Hongmei KANG 1 ,
  • Ming JIANG , 1, * ,
  • Qiang WANG 2
Expand
  • 1. National Mobile Communications Research Laboratory, Southeast University, Nanjing 210096, China
  • 2. China Information Consulting & Designing Institute Co., Ltd., Nanjing 210018, China

Received date: 2024-12-02

  Online published: 2025-11-07

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All rights reserved. Unauthorized reproduction is prohibited.
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Abstract

Objective: Spatially coupled low-density parity-check (SC-LDPC) codes have attracted considerable interest in recent years owing to their exceptional decoding performance, low latency, and unique coupling structure, which notably enables error correction capabilities. These codes leverage the threshold saturation effect, allowing their performance to approach the Shannon limit closely. Their capability to deliver high reliability with reduced decoding complexity positions them as a promising choice for next-generation communication systems, including 6G networks and satellite communications. This paper introduces a novel construction method for SC-LDPC codes, referred to as SC multi-weight circulant quasi-cyclic LDPC (SC-MQC-LDPC) codes, based on multi-weight circulant matrix decomposition. These codes are designed to be compatible with a wide range of code lengths and code rates, offering increased flexibility and applicability in diverse scenarios. Methods: The construction process begins with the design of MQC-LDPC codes, where a lifting value matrix is determined using a simplified error minimization progressive edge growth algorithm; this algorithm is specifically tailored to optimize the structural properties and decoding performance of the codes. By accounting for the presence of short cycles and the extrinsic message degree of check nodes, the algorithm effectively mitigates the error floor, thereby enhancing the overall reliability and efficiency of the MQC-LDPC codes. These base codes are then extended using a split-replication process to construct SC-MQC-LDPC codes. This extension preserves the beneficial characteristics of the original MQC-LDPC codes while introducing spatial coupling, which further improves error-correction capabilities and supports a broad range of communication requirements. The paper also introduces a recursive encoding method for SC-MQC-LDPC codes, which offers low implementation complexity and reduced latency, increasing its suitability for practical deployment. Additionally, an improved sliding window decoding algorithm is introduced to further optimize the decoding process. This low-complexity algorithm enhances decoding efficiency by balancing memory usage and computational requirements. With a modest increase in memory overhead, the algorithm successfully mitigates error propagation and improves overall decoding performance, ensuring robust data transmission even under challenging conditions, such as low signal-to-noise ratios. Results: The performance of the proposed SC-MQC-LDPC codes is rigorously evaluated through comprehensive simulations. The experimental results show the following: 1) The proposed SC-MQC-LDPC codes, designed for compatibility with various code lengths and rates, achieve a performance gain of over 0.50 dB compared with SC-5G-LDPC codes at a bit error rate of 10-6, when used in combination with the modified sliding window decoding (SWD) algorithm. Furthermore, under identical code length and rate conditions, they demonstrate clear performance advantages over the newly extended 5G-NR LDPC codes, particularly in the low Eb/N0 region. Additionally, the modified SWD algorithm significantly improves decoding performance across all tested SC-MQC-LDPC code variants compared to the conventional SWD algorithm, with the improvements becoming more pronounced as the code length increases. 2) In terms of computational complexity, SC-MQC-LDPC codes decoded with the modified SWD algorithm achieve substantial reductions of approximately 1/5 and 1/3 compared with SC-5G-LDPC and 5G new radio LDPC codes, respectively. At Eb/N0=6.0 dB, the decoding complexity of the modified algorithm is nearly half that of the traditional SWD algorithm, highlighting its advantage for low-complexity, high-efficiency decoding. Conclusions: Overall, the SC-MQC-LDPC codes proposed in this study mark a remarkable advancement in error-correction coding, effectively addressing the growing demand for high reliability, low latency, and computational efficiency. These characteristics make them highly suitable for modern communication environments that demand adaptable, efficient, and robust performance in dynamic and challenging scenarios.

Key words： spatially-coupled low-density parity-check codes; multi-weight circulant matrix; rate compatibility; sliding window decoding

Cite this article

Hongmei KANG , Ming JIANG , Qiang WANG . Spatially coupled LDPC codes based on multi-weight circulant matrix decomposition[J]. Journal of Tsinghua University(Science and Technology), 2025 , 65(11) : 2024 -2031 . DOI: 10.16511/j.cnki.qhdxxb.2025.27.042

准循环低密度奇偶校验(quasi-cyclic low-density parity-check, QC-LDPC)码不仅具备高并行度译码的优势，且其性能接近Shannon极限，因此被选为第五代移动通信系统(5G-NR)新空口技术的主要编码方案，并设计了2套支持码率兼容的QC-LDPC码基矩阵(BG1和BG2)[1]。然而，现行5G-NR LDPC码标准支持的最大信息传输长度仅为8 448比特，且随着码长的增加，编译码过程中的时延问题愈加突出，难以满足未来移动通信对更高传输速率和更低时延的要求。为应对这一挑战，耦合LDPC码通过在多个相互独立的LDPC码之间引入耦合关系，能够有效降低编译码时延，提升吞吐率，并显著改善译码性能[2-3]。常见的耦合LDPC码包括全局耦合(globally coupled, GC)-LDPC码和空间耦合(spatially coupled, SC)-LDPC码等[4-5]。其中，GC-LDPC码通过局部和全局两阶段译码，既可以减少错误传播现象，又可以有效抵抗突发错误。然而，在恶劣的信道条件下，全局译码阶段的时延难以避免，且计算复杂度较高。相比之下，SC-LDPC码由于其独特的结构，具备较低的编译码复杂度，并通过边发边译的方式显著降低时延。此外，当耦合块数目足够大时，SC-LDPC码展现出阈值饱和特性，其性能在理论上可以逼近Shannon极限，因此被认为是6G通信中极具潜力的核心编码技术之一[6]。
SC-LDPC码是一类有限长的LDPC码卷积码，通过在多个相邻且相互独立的LDPC码之间引入耦合关系以提升译码性能。现有的SC-LDPC码构造方法主要包括基于校验矩阵的拆分构造、基于原模图的边扩展构造和基于代数的掩模构造[7-12]。文[7]通过“拆分-重组-复制”LDPC码的方式获得SC-LDPC码，尽管该方法构造简便，但可能破坏原有LDPC码的优良结构，鲁棒性较差。文[8-10]基于原模图设计SC-LDPC码，为了抵抗突发错误，设计了交叉结构和并行多对角带结构的SC-LDPC码，译码性能和收敛速度均有所提升，但编译码复杂度显著增加。文[9]通过最大化SC-LDPC码滑窗译码(sliding window decoding, SWD)的阈值，优化了其在二元输入加性Gauss白噪声(additive white Gaussian noise, AWGN)信道下的性能。文[10]提出了多元SC-LDPC码，相比二元SC-LDPC码具有更低的译码阈值，但编译码复杂度有所增加。文[11]基于边扩展技术，利用快速搜索算法构造出具有较少停止集、陷阱集等对性能有害的集合的SC-LDPC码，进一步提升了译码性能。文[12]先采用代数构造方式生成LDPC码，再通过重复-掩模操作得到环分布较优的SC-LDPC码，但其码长和码率的灵活性有限。文[13]针对突发擦除信道中译码性能急剧恶化的现象，提出了二维SC-LDPC码，通过在2条耦合链中交换各位置的边实现并行连接，尽管增强了鲁棒性，但其实现复杂度较高。另外，为了构造码率兼容的SC-LDPC码，文[8]先利用渐进边生长(progressive edge growth, PEG)算法构造核心矩阵，再借助5G-NR LDPC码设计扩展矩阵，之后通过拆分操作得到SC-LDPC码；文[14]直接对5G-NR LDPC码进行拆分构造SC-LDPC码，尽管编译码过程灵活，但其性能受拆分方式的影响较大。在PEG算法的基础上，为了进一步降低误码平层，文[15-17]提出的最小错误渐进边生长(error minimization, EM)PEG算法在边连接过程中综合考虑了短环结构及其外部校验节点度数(extrinsic message degree, EMD)等因素，从而进一步优化误码性能。在译码方面，SC-LDPC码直接采用置信传播(belief propagation, BP)译码算法，随着码长的增加，计算复杂度呈指数增长。由于SC-LDPC码特殊的耦合方式，采用SWD译码算法可以有效地降低译码复杂度和时延[18]。文[19-20]提出了可变窗长的SWD算法，该算法能够在性能、计算复杂度与延迟之间实现均衡折中，但译码器的设计较为复杂，难以在实际系统中有效应用。
为进一步满足未来移动通信系统的需求，本文提出了一种基于多重循环阵(multi-weight circulant QC, MQC)拆分的具备码长和码率兼容特性的SC-LDPC码，称为SC-MQC-LDPC码。首先，基于原模图设计了一套支持码长和码率兼容的MQC-LDPC码，利用简化的EMPEG算法确定偏移值矩阵，进一步改善误码平层。随后，通过“拆分-复制”操作得到SC-MQC-LDPC码。在译码过程中，本文提出了一种具有低复杂度的修正SWD算法。最后，通过与将SC-MQC-LDPC码与相同码长和码率下现有的SC-LDPC码、5G-NR LDPC码进行对比，验证了提出的算法在性能和计算复杂度方面具有显著优势。

1 SC-LDPC码基本概念

SC-LDPC码是一类有记忆的LDPC码，通过在多个相互独立的LDPC码之间建立耦合关系构造而成。当若干个相同的LDPC码之间的耦合关系不随时间变化时，称为时不变SC-LDPC码，否则称为时变SC-LDPC码。本文主要研究基于原模图的时不变SC-LDPC码，其基矩阵BSC可表示为
$\boldsymbol{B}_{\mathrm{SC}}=\left[\begin{array}{cccc}\boldsymbol{B}_{0} & & & \\\boldsymbol{B}_{1} & \boldsymbol{B}_{0} & & \\\vdots & \boldsymbol{B}_{1} & \ddots & \\\boldsymbol{B}_{m_{\mathrm{s}}} & \vdots & \ddots & \boldsymbol{B}_{0} \\& \boldsymbol{B}_{m_{\mathrm{s}}} & \ddots & \boldsymbol{B}_{1} \\& & \ddots & \vdots \\& & & \boldsymbol{B}_{m_{\mathrm{s}}}\end{array}\right]_{m_{0}\left(m_{\mathrm{s}}+L\right) \times n_{0} L}.$
其中：ms和L分别表示耦合深度和耦合长度。Bi (i=0, 1, …, ms)是基矩阵BSC的对角带上大小为m0×n0的子矩阵。与基矩阵Bi具有相同大小的偏移值矩阵Pi经过循环移位扩展可以得到大小为m0 Z×n0 Z(Z为扩展因子)的校验矩阵Hi。同样地，将(ms+1)个子矩阵Pi和Hi复制L次并放置于对角带上可以得到SC-LDPC码的偏移值矩阵PSC和校验矩阵HSC。若基矩阵BSC中元素bm, n=0，则对应偏移值矩阵PSC的元素pm, n=-1，校验矩阵HSC的相应位置填充大小为Z×Z的全零矩阵，即hm, n=0Z×Z；若BSC中元素bm, n=1，则对应PSC的元素pm, n∈{0, 1, …, Z-1}，子矩阵hm, n是将大小为Z×Z的单位阵循环右移pm, n的矩阵，即第0行的第pm, n个元素记为1，其余(Z-1)行为第0行的逐行循环右移。基于此结构，SC-LDPC码的码率RSC与R、ms和L有关，可表示为
$R_{\mathrm{SC}}=1-\frac{m_{0}\left(m_{\mathrm{s}}+L\right)}{n_{0} L}=R-(1-R) \frac{m_{\mathrm{s}}}{L}.$
其中：R为基矩阵Bi的码率，R=1-m0/n0。
另外，SC-LDPC码也可以通过Tanner图表示。取ms=1, Z=3，若子矩阵P0和P1可表示为式(3)，则SC-LDPC码对应的Tanner图如图 1所示。
$\begin{align*}\boldsymbol{P}_{0} & =\left(\begin{array}{cccccc}2 & 1 & -1 & 2 & -1 & -1 \\-1 & -1 & 1 & 2 & -1 & 1 \\-1 & 1 & 0 & -1 & 2 & -1\end{array}\right) ,\\\boldsymbol{P}_{1} & =\left(\begin{array}{cccccc}-1 & -1 & -1 & -1 & 0 & -1 \\1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\-1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 2\end{array}\right) .\end{align*}$
图 1 SC-LDPC码的Tanner图
在实际系统中，由于SC-LDPC码是有限长的，在尾部需要进行截断处理，这对编码过程产生了影响。为简化编码操作，在常规SC-LDPC码的基础上进行了略微调整，即在SC-LDPC码校验矩阵的第(L-1)列截断处增加ms个大小为m0 Z×m0 Z的单位阵I。取ms=2，截断调整后的校验矩阵HSC如图 2所示。
图 2 SC-LDPC码的校验矩阵HSC(ms=2)
不失一般性地以ms=1的情况进行详细介绍，ms>1的情况可直接类推。

2 SC-MQC-LDPC码构造与编码

2.1 SC-MQC-LDPC码构造方法

为了构造性能优异的SC-LDPC码，本研究首先基于原模图设计具有良好结构特性的MQC-LDPC码，然后通过“拆分-复制”操作生成SC-MQC-LDPC码。这种构造方法可以有效地保留MQC-LDPC码的优良结构特性，从而提升SC-MQC-LDPC码的整体性能。借鉴国际空间数据系统咨询委员会提出的标准LDPC码构造思路[21]，将MQC-LDPC码的基矩阵BMQC中所有元素设置为(ms+1)，即BMQC=[ms+1]0≤m＜m0, 0≤n＜n0。当MQC-LDPC码的原型图规模较大时，标准的EMPEG算法通常会引入较高的计算复杂度[17]。因此，利用简化的EMPEG算法确定MQC-LDPC码的偏移值矩阵PMQC，具体算法步骤如图 3所示[15]，其中，dn, w表示变量节点集合Vn中任意元素与待连接的校验节点集合Cn, w={Ci0, …, Ci|Cn, w|-1}中所有元素的路径长度集合，dn, w={di0, …, di|Cn, w|-1}，其中，|·|表示集合的基数。为了构造支持码长和码率兼容的MQC-LDPC码，仅需按照码率要求增加或减少基矩阵BMQC和偏移值矩阵PMQC的列数与行数，且满足PMQC(Z)=mod(P′MQC (Z′), Z), Z′/Z=q, q为整数，P′MQC表示扩展因子为Z′的偏移值矩阵。
图 3 简化的EMPEG算法确定MQC-LDPC码的偏移值矩阵PMQC
在得到MQC-LDPC码基矩阵BMQC和偏移值矩阵PMQC后，令$ \boldsymbol{B}_{\mathrm{MQC}}=\sum\limits_{i=0}^{m_{\mathrm{s}}} \boldsymbol{B}_{i}, i=0, \cdots, m_{\mathrm{s}}$。Bi中所有的元素均设置为1。通过顺序拆分的方式，生成偏移值矩阵Pi，并通过循环移位扩展得到校验矩阵Hi。图 4列出了R=2/3, n0=6和Z=120时通过图 3构造得到的MQC-LDPC码的偏移值矩阵PMQC和拆分后的偏移值矩阵Pi, i=0, 1。之后，将矩阵Bi、Pi和Hi分别复制L次并顺次放置于对角带上，得到SC-MQC-LDPC码的基矩阵BSC、偏移值矩阵PSC和校验矩阵HSC。
图 4 偏移值矩阵PMQC和Pi(i=0, 1)

注：R=2/3, n0=6, Z=120。

2.2 SC-MQC-LDPC码递归编码算法

由于SC-MQC-LDPC码特殊的耦合构造方式，可通过递归方式实现低复杂度编码。在编码过程中，首先将待传输的长度为(n0-m0)L·Z的信息序列b均匀拆分为L段，得到L个长度为(n0-m0)Z的子序列bl(l=0, 1, …, L-1)，即b=[b0,b1, …,bL-1]。接着，利用校验矩阵H0对序列b0进行编码，得到长度为n0 Z的编码序列u0=[b0,p0]。然后，依次利用校验矩阵[H1,H0]对序列[ul-1,bl](l=1, …, L-1)编码，得到长度为2n0 Z的编码序列[ul-1,ul]。最后，利用校验矩阵[H1, I]对序列uL-1进行编码，得到末端长度为(n0+m0)Z的编码序列[uL-1,pL]。因此，完整的编码序列可以表示为
$\begin{gather*}\boldsymbol{u}=\left[\boldsymbol{u}_{0}, \boldsymbol{\cdots}, \boldsymbol{u}_{L-1}, \boldsymbol{p}_{L}\right]= \\{\left[\boldsymbol{b}_{0}, \boldsymbol{p}_{0}, \boldsymbol{\cdots}, \boldsymbol{b}_{L-1}, \boldsymbol{p}_{L-1}, \boldsymbol{p}_{L}\right]}, \end{gather*}$
其总比特长度为N=(n0 L+m0)Z，具体的编码过程如图 5所示。
图 5 SC-MQC-LDPC码编码过程示意图

3 适用于SC-MQC-LDPC码的修正SWD算法

由于提出的SC-MQC-LDPC码基矩阵Bi(i=0, 1, …, ms) 具有完全相同的结构，相比其他构造方式的SC方案，其译码器设计更为简单[7-8, 14]。针对SC-MQC-LDPC码的这一特定结构，本文提出了一种基于软信息更新的修正SWD算法[20]，在适当增加存储空间的条件下，显著提升译码性能并降低计算复杂度。此外，为了加快收敛速度，每一轮滑窗迭代译码均采用分层归一化最小和(LNMS)译码算法。假设译码窗长为D，则共需要(L+D)轮译码。
首先，译码器初始化输入信息为解调器软输出信息，即LLR0=Ich，其中，LLR0=[LLR00, …, LLRL-10, LLRL0], Ich=[I0ch, …,IL-1ch,ILch]，软信息LLRl0和Ilch(l=0, …, L-1)的长度均为n0 Z，LLRL0和ILch的长度为m0 Z。在第w轮译码中，若第l个子块已经正确译码，则第l个子块不再进行迭代译码，仅辅助其余子块译码，译码器的输入信息的绝对值和校验节点传递给变量节点的初始信息分别表示为|LLRlw|=+∞和Llc2v=0；若第l个子块未正确译码，则采用第(w-1)轮译码的最后一次输出作为本轮译码的初始输入，即LLRlw=LLRlw-1，并保留最后一次译码的软信息Llc2v。具体的算法步骤如图 6所示。
图 6 SC-MQC-LDPC码的修正SWD算法
需要注意的是，在译码过程中，前D轮译码需要的校验矩阵Hw为HSC中前w个行块的前w个列块，如图 7中w=1, 2的红色和绿色虚线框所示。接下来(L-D)轮译码需要的校验矩阵Hw为HSC第(w-D+1)至w个行块的第(w-D)至w个列块，每个行块的行数为m0 Z，每个列块的列数为n0 Z，如图 7中间w=3, …, L的蓝色虚线框所示。最后D轮译码需要的Hw为HSC中后(L+D-w+1)个行块的后(L+D-w+2)个列块，每个行块的行数不变，前(L+D-w+2)个列块的列数仍为n0 Z，最后一个列块的列数为m0 Z，如图 7末端的绿色和红色虚线框所示(w=L+1, L+2)。相比传统SWD算法，本文所提的译码方法在译码过程中保留了中间滑窗译码失败后的软输出信息，且中间(L-D)轮译码窗长设置为Dm0Z×(D+1) n0Z，通过增加一个列块，可以有效地减少错误传播现象的发生，进一步提升系统的误码率性能。
图 7 修正SWD算法每轮译码校验矩阵和软信息更新示意图(D=2)

4 分析与讨论

为了验证本文所提出的SC-MQC-LDPC码的性能增益，本文设计了一套支持码长和码率兼容的SC-MQC-LDPC码(m0=2, n0={8, 16, 24}, Z={60, 120, 240})，在AWGN信道下，采用二进制相移键控调制，仿真比较了所提出的SC-MQC-LDPC码、文[14]所构造的SC-LDPC码(SC-5G-LDPC码，为了使码长和码率相同，需要进行打孔和缩短操作)和同等码长、码率下新扩展的5G-NR LDPC码(5G标准规定Zmax=384，新扩展的码采用的基矩阵不改变，通过增大Z和优化偏移值的方式得到支持更大编码长度的校验矩阵)的译码性能，相关编码参数如表 1所示。为简化描述，本文之后分别将SC-MQC-LDPC码、SC-5G-LDPC码和新扩展的5G-NR LDPC码表示为码a、码b和码c。
表 1 SC-MQC-LDPC码(码a)、SC-5G-LDPC码(码b)和5G-NR LDPC码(码c)仿真参数
编号 SC-MQC-LDPC码(码a) SC-5G-LDPC码(码b) 新扩展的5G-NR LDPC码(码c)
m0 n0 Z L RSC N m0 n0 Z L RSC N Z 码率 码长
1 2 8 240 60 0.747 115 680 9 31 72 60 0.747 115 680 3 840 0.730 115 680
2 2 16 240 30 0.871 115 680 5 27 160 30 0.871 115 680 4 608 0.871 115 680
3 2 24 240 20 0.913 115 680 4 26 240 20 0.913 115 680 4 800 0.913 115 680
4 2 24 120 20 0.913 57 840 4 26 120 20 0.913 57 840 2 400 0.913 57 840
5 2 24 60 20 0.913 28 920 4 26 60 20 0.913 28 920 1 200 0.913 28 920

注：m0, n0分别表示码a(码b)的基矩阵Bi的行数和列数，Z为扩展因子，L, RSC和N分别表示码a(码b)的耦合长度、码率和码长。

图 8a对比了一组支持码率兼容的码a与相应码长、码率下的码b以及码c在不同信噪比(Eb/N0，单位为dB)下的误比特率(bit error rate, BER)曲线，其中Eb表示传输一个比特所消耗的平均能量，N0表示单位带宽内的噪声功率。同时比较了修正SWD算法与传统SWD算法的性能。其中，码a和码b每轮迭代译码的最大译码次数设置为1，窗长D=5；码c采用LNMS译码算法，最大迭代次数为5。
图 8 SC-MQC-LDPC码(码a)与同等码长和码率的SC-5G-LDPC码(码b)、5G-NR LDPC码(码c)译码性能对比
由图 8a可以看出，若采用修正SWD算法，在BER=10-6时，3种不同码率(RSC=0.747、0.871和0.913)的码a与对应的码b相比，性能增益分别为0.60、0.50和0.75 dB；与同等码长和码率下新扩展的码c相比，性能提升可达0.20~0.40 dB，且吞吐率有明显提升。另外，采用修正SWD算法与采用传统SWD算法相比，不同类型的码a的性能均有明显提升，在BER=10-6、RSC=0.747时，增益约为2.50 dB，N越大，性能提升越明显，但所需的存储空间越大。此外，在N相同的条件下，SC-MQC-LDPC码的性能随着RSC的降低而增加。
图 8b对比了一组支持码长兼容的码a与相应码长、码率下的码b以及码c在不同Eb/N0下的BER曲线。同样地，若采用修正SWD算法，在BER=10-6时，码a-4(编号4的SC-MQC-LDPC码)比码b-4性能提升约0.70 dB；与码c-4和码a-4的传统SWD算法相比，性能分别提升0.30 dB和1.30 dB。码a-5采用修正SWD算法，在BER= 10-6时，译码性能比码b-5提升约0.80 dB。在信道环境较为恶劣的场景中，与码c-5相比，码a-5采用修正SWD算法性能更优；当Eb/N0 >4.70 dB时，虽然码a-5的译码性能比码c-5略差，但吞吐率较高，时延较低。
除了译码性能，还可以利用平均的译码乘法和加法次数作为计算复杂度ϑ的衡量指标。由于LNMS算法中每个校验节点cm更新信息所需的乘法和加法次数分别为(4dcm-1)和2dcm，其中dcm表示校验矩阵H第m行的行重，即校验节点cm的重量，则单次译码所需的乘法和加法次数与校验矩阵H的非零元素数量‖H‖1成正比关系。因此，码a(码b)和码c的计算复杂度ϑSC和ϑ5G可分别表示为
$\begin{gather*}\vartheta_{\mathrm{SC}}=\sum\limits_{w=1}^{L+D}\left\|\boldsymbol{H}_{w}\right\|_{1} \cdot \overline{I_{w}}, \\\vartheta_{5 \mathrm{G}}=\left\|\boldsymbol{H}_{5 \mathrm{G}}\right\|_{1} \cdot \overline{I_{5 \mathrm{G}}}. \end{gather*}$
其中：Hw、H5G分别表示用于码a(码b)和码c译码的校验矩阵，$ \overline{I_{w}}$和$ \overline{I_{5 {\rm{G}}}}$表示平均译码迭代次数。采用码a-3、码b-3和码c-3进行译码在不同Eb/N0下的ϑ(单位：105次)如表 2所示，由表可知，若采用修正SWD译码算法，与码b-3相比，码a-3具有较低的计算复杂度，当Eb/N0=5.0 dB时，码a-3的ϑSC约为码b-3的1/2。另外，码a-3采用修正SWD译码算法比传统SWD译码算法、同等码长和码率的码c-3计算复杂度低。当Eb/N0 =5.0 dB时，码a-3采用修正SWD算法比传统的SWD算法复杂度降低将近一半。当Eb/N0 =6.0 dB时，修正算法复杂度将为传统算法一半，约为码c-3的1/4，表明了本文提出的算法具有较低的计算复杂度。
表 2 SC-MQC-LDPC码(码a-3)、SC-5G-LDPC码(码b-3)和5G-NR LDPC码(码c-3)的计算复杂度 105
4.5 dB 5.0 dB 5.5 dB 6.0 dB
码a-3 修正SWD 14.6 7.8 4.9 2.6
传统SWD 24.6 16.0 8.1 5.2
码b-3 修正SWD 20.2 16.0 11.2 8.5
码c-3 LNMS 19.0 17.7 14.0 11.5

5 结论

本文基于原模图设计了一种支持码长和码率兼容的SC-MQC-LDPC码。首先，采用简化的EMPEG算法构造性能优异的MQC-LDPC码，然后通过顺序拆分的方式得到SC-MQC-LDPC码。该构造方式确保了所生成的SC-MQC-LDPC码不存在四环，从而提升了码的性能。在编码阶段，考虑到实际系统中SC-LDPC码长度有限，增加单位阵结构并采用递归编码方式进行处理。在译码阶段，提出了一种修正SWD算法，仿真结果验证了所提算法的优异性能和低复杂度性。主要结论如下：
1) 本文所提出的具备码长和码率兼容特性的SC-MQC-LDPC码，结合修正SWD算法，在BER= 10-6时，较SC-5G-LDPC码实现了超过0.50 dB的性能增益；在与相同码长和码率条件下的新扩展5G-NR LDPC码对比中，亦在低信噪比区域表现出明显的性能优势。此外，与传统SWD算法相比，修正SWD算法在不同类型的SC-MQC-LDPC码上均带来了显著的性能提升，且随着N的增加，增益效果更加显著。
2) 在计算复杂度方面，与SC-5G-LDPC码和5G-NR LDPC码相比，本文提出的SC-MQC-LDPC码在采用修正SWD算法后，其译码复杂度分别可降低约1/5和1/3。相比SC-5G-LDPC码和5G-NR LDPC码，若采用修正SWD译码算法，本文提出的SC-MQC-LDPC码的计算复杂度最少可分别降低1/5和1/3。当Eb/N0 =6.0 dB时，修正算法的复杂度甚至可达到传统算法的一半，充分体现了其在低复杂度译码方面的优势。

References

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